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歐拉線歐拉線

定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三點共線，且外心與重心的距離等于重心與垂心距離的一半．如何證明: 問提問者：網友 | 2018-08-19

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歐拉線的證法1：　　作△ABC的外接圓，連結并延長BO，交外接圓于點D。連結AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM，設AM交OH于點G’ 　　∵ BD是直徑　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC 　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC 　　∴ DA‖CH，DC‖AH 　　∴ 四邊形ADCH是平行四邊形　　∴ AH=DC 　　∵ M是BC的中點，O是BD的中點　　∴ OM= 1/2DC 　　∴ OM= 1/2AH 　　∵ OM‖AH 　　∴ △OMG’ ∽△HAG’ 　　∴AG/GM=2/1 　　∴ G’是△ABC的重心　　∴ G與G’重合　　∴ O、G、H三點在同一條直線上　　如果使用向量,證明過程可以極大的簡化,運用向量中的坐標法,分別求出O G H三點的坐標即可. 　　歐拉線的證法2：　　設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。連接AG并延長交BC于D, 則可知D為BC中點。　　連接OD ，又因為O為外心，所以OD⊥BC。連接AH并延長交BC于E,因H為垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。　　連接CG并延長交BA于F,則可知D為BC中點。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 　　連接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又連接AG并延長，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三點共線。　　歐拉線的證法3 　　設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心. 　　則向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 　　向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，　　向量OG*3=向量OH 　　所以O、G、H三點共線: 回答者：網友

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